Comparative Analysis of Edge Based Single Image Superresolution (和訳) 3. Implementation of Super-resolution Algorithms

3. Implementation of Super-resolution Algorithms

In this paper implementation of three interpolation based approaches is performed and compared. These methods are described as follows:

この論文では、3つの補間に基づくアプローチの実施が実行され比較される。これらのメソッドは次のように記述される。

3.1 Bicubic Interpolation

Bicubic interpolation is chosen over bilinear interpolation in image resampling, when speed is not a major concern.

速度が重要な関心事ではない場合には、画像リサンプリングで双一次補間よりも双三次補間が選択される。

Bilinear interpolation [8], takes only 4 pixels (2x2) into account, where bicubic interpolation takes 16 pixels (4x4).

双線形補間[8]は、双三次補間が16ピクセル（4×4）を要する4ピクセル（2×2）しか考慮しない。

Images obtained with bicubic interpolation are smoother and have few interpolation artifacts.

バイキュービック補間で得られた画像は滑らかで、補間アーチファクトは殆どない。

In this method function values f and its derivatives f_x, f_y
and f_xy are known at 4 points as (0,0);(1,0);(0,1) and (1,1) respectively.

この方法では、関数値f およびその導関数f_x, f_y
およびf_xyはそれぞれ（0,1）及び（1,1）、（1,0）、（0,0）のように4点で知られる。

Then the interpolated surface is given as:

次に、補間されたサーフェスは次のように与えられる。

This interpolation considers 16 coefficients of a_ij.

この補間は、a_ij 16個の係数を考慮する。

This procedure yeids a surface p(x, y) (on the unit square [0, 1] x [0, 1] which is continuous with continuous derivatives.

この手順は、連続導関数に連続する単位正方形[0,1] x [0,1] 上の表面 p(x, y)を除去する。

Convolution based interpolation [6] is described mathematically as:

畳み込みに基づく補間[6]は、数学的に以下のように説明される。

The third order cubic convolution kernel is defined as:

3次の3次畳み込みカーネルは、次のように定義される。

3.2 Iterative Curvature Based Interpolation (ICBI)

ICBI method is executed in 4 different steps as shown in Fig. 1.

ICBI法は図1に示すように4つの異なるステップで実行される。

Edge directed interpolation (EDI) gives the basic description of the image upscaling method based on grid doubling and hole filling.

エッジ指向補間（EDI）は、グリッドダブリングとホール充填に基づく画像アップスケーリング方法の基本的な説明を与えます。

Improved NEDI algorithm demonstrates the relationship between the constraints and second order derivatives used in ICBI algorithm [7].

Improved NEDIアルゴリズムは、制約とICBIアルゴリズム[7]で使用される二次導関数との間の関係を示す。

3.2.1 Edge Directed Interpolation:

The ‘edge-directed’ interpolation algorithms[9] when applied each time, approximately double the image size into an enlarged grid (indexed by 2i and 2j) from copying the original pixels (indexed by i and j), and then filling the gaps by ad hoc rules obtain the missing values as weighted averages of valued neighbors, with weights derived by a local edge analysis as shown in Fig.2.
For example, for the first step, the interpolated value is usually computed as:

（iとjによってインデックス付けされた）元のピクセルをコピーすることから（2iと2jによってインデックス付けされた）拡大されたグリッドに画像サイズを約2倍にした後、ギャップを埋める「エッジ指向」補間アルゴリズム[9]よるアドホックルール図2に示すように、局所エッジ解析により導出重みで、大切な隣人の加重平均として欠損値を得る。
たとえば、最初のステップでは、補間値は通常次のように計算される。

Computational cost of this procedure is quite high.

この手順の計算コストはかなり高い。

3.2.2 Constant Covariance Conditioned Revised

In this case, the brightness changes only perpendicular to the edge and it means that the over constrained system solved to obtain the parameters is badly conditioned due to the rank deficiency of the problem [10].

この場合、明るさはエッジに対して垂直方向にのみ変化するため、問題の階数不足のためにパラメータを求めるために解かれた過拘束システムはひどく調整されている[10]。

The solution of this step is faster (about35%) as given in [7] and most important, the quality of the interpolation is the same as obtained with the NEDI method.

このステップの解は、[7]で与えられたように高速であり（約35％）、最も重要なのは、補間の質はNEDI法で得られるものと同じである。

3.2.3 Improved NEDI Constraints

If the condition 5 holds in a neighborhood and across scales, it is reasonable that an algorithm iteratively refining interpolated pixels by locally minimizing a function that should be zero.

条件5が近傍およびスケールにわたって保持されている場合、アルゴリズムは、ゼロでなければならない関数を局所的に最小化することによって、補間されたピクセルを繰り返し精緻化することは合理的である。

Then this constraint would be effective to obtain a good result. From (5):

そうすれば、この制約は良好な結果を得るのに有効であろう。（5）から：

One way to guarantee that this condition is locally true is to assume that local approximations of the second-order derivatives along the two perpendicular directions ( I_2j,2j - 2I_2i+1,2j+1 + I_2i+2,2j+2 ) and ( I_2j,2j+2 - 2I_2i+1,2j+1 + I_2i+2,2j ) divided by the local intensity are I_2i+1,2j+1 constant.

この条件が局所的に真であることを保証する1つの方法は、2つの垂直な方向（に沿って第2次誘導体の局所近似仮定することである私は I_2j,2j - 2I_2i+1,2j+1 + I_2i+2,2j+2 ）と（ I_2j,2j+2 - 2I_2i+1,2j+1 + I_2i+2,2j ）は、 I_2i+1,2j+1 定数である。

If assume that the local gain is null (β₁ + β₂ = 1/2), can impose simply the constancy of the second-order derivative estimates.

局所的なゲインが null (β₁ + β₂ = 1/2）であることを前提とした場合は、単に二次微分推定値の恒常性を仮定できる。

This condition is actually introduced in the ICBI method.

この状態は実際にICBIメソッドに導入される。

3.2.4 Iterative Curvature Based Interpolation

ICBI method obtains by using Fast curvature based interpolation (FCBI) method and energy function.

ICBI法は、高速曲率に基づく補間（FCBI）法およびエネルギー関数を使用して得られる。

3.2.4.1 FCBI Method :

The two filling steps are performed by first initializing the new values with the FCBI algorithm [7], i.e., for the first step, computing local approximations of the secondorder
derivative I₁₁(2i+1, 2j+1) and I₂₂(2i+1,2j+1) along the two diagonal directions using eight-valued neighboring pixels as shown in Fig .3.

2つの充填ステップは、最初に新しい値をFCBIアルゴリズム[7]で初期化することによって、すなわち第1のステップについては第2の順序の局所近似を計算することによって行われる
図3に示すような8値の近傍画素を用いて、2つの対角方向に沿った微分値I₁₁(2i+1, 2j+1) and I₂₂(2i+1,2j+1)

And then assigning to the point the average of the two neighbors in the direction where the derivative is lower:

そして、導関数がより低い方向に2つの近傍の平均を点に割り当てる：

3.2.4.2 Energy Function:

The main energy term defined for each interpolated pixel should be minimized by small changes in second order derivatives:

補間された各ピクセルについて定義される主エネルギー項は、2次微分の小さな変化によって最小化されるべきである。

The ratio between a; and b determines a trade-off between edge sharpness and artifacts removal.

a と b の比率は、エッジのシャープネスとアーティファクト除去の間のトレードオフを決定する。

The value of c is not critical.

cの値はcritical(重要)ではない。

After the second hole-filling step i.e. FCBI ;
the iterative procedure is repeated in a similar way, just replacing the diagonal derivatives in the energy terms with horizontal and vertical ones and iteratively modifying only the values of the newly added pixels.

第2のホール充填ステップすなわちFCBIの後 ;
反復手順は同様の方法で繰り返され、エネルギー項の対角導関数を水平および垂直のものに置き換え、新たに追加されたピクセルの値のみを反復的に修正する。

Due to the iterative procedure, this method is termed as ICBI.

反復手順であるので、この方法はICBIと呼ばれる。